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Monotonie

Monotonie

Was ist die Monotonie?

Die Monotonie ist die Beschreibung der Steigung einer Funktion in einem bestimmten Abschnitt. Dieser Abschnitt wird auch Intervall genannt.

 

Wofür brauche ich die Monotonie?

Die Monotonie der Intervalle einer Funktion ist für eine Kurvendiskussion wichtig.

 

Monotoniekriterium

Eine Funktion muss in dem Intervall differenzierbar sein, damit man die Monotonie bestimmen kann. Das heißt, dass man in jedem Punkt die Ableitung (und somit die Steigung) bestimmen kann. Ist die Funktion in diesem Abschnitt „geknickt“, kann man keine Monotonie bestimmen.

Definition strenge & „normale“ Monotonie

  1. Eine Funktion ist in einem Intervall streng monoton steigend, wenn sie in jedem Punkt eine Steigung von über 0 hat, also die Steigung in jedem Punkt positiv ist. Das heißt auch, dass die erste Ableitung in diesem Intervall immer einen positiven y-Wert hat.
  2. Eine Funktion ist in einem Intervall streng monoton fallend, wenn sie in jedem Punkt eine Steigung von unter 0 hat, also die Steigung in jedem Punkt negativ ist. Das heißt auch, dass die erste Ableitung in diesem Intervall immer einen negativen y-Wert hat.
  3. Eine Funktion ist in einem Intervall monoton steigend, wenn sie in jedem Punkt eine Steigung von über 0 oder 0 hat, also die Steigung in jedem Punkt positiv oder 0 ist. Das heißt auch, dass die erste Ableitung in diesem Intervall immer einen positiven y-Wert hat oder ihr y-Wert 0 ist.
  4. Eine Funktion ist in einem Intervall monoton fallend, wenn sie in jedem Punkt eine Steigung von über 0 oder 0 hat, also die Steigung in jedem Punkt negativ oder 0 ist. Das heißt auch, dass die erste Ableitung in diesem Intervall immer einen negativen y-Wert hat oder ihr y-Wert 0 ist.

Monotonieberechnung

1. Um die Monotonie einer Funktion zu bestimmen, berechne zunächst die erste Ableitung der Funktion.

f(x)=x3+2x2-5x+12

f'(x)=3x2+4x-5

2. Berechne dann die Nullstellen der Ableitungsfunktion

x1= 0,79

x2= -2,12

3. Jetzt hast du drei Intervalle:

  • -∞ bis -2,12
  • -2,12 bis 0,79
  • 0,79 bis ∞

4. Setze aus jedem dieser Intervalle einen Wert in die Ableitungsfunktion ein

f(-3)= 10

f(0)= -5

f(1)= 2

Das heißt, dass in ersten und dritten Intervall in unserem Beispiel eine Steigung und im zweiten ein Gefälle stattfindet. Das können wir nun auf zwei Arten definieren:

I1(-∞|-2,12): streng monoton steigend

I2(-2,12|0,79): streng monoton fallend

I3(0,79|∞): streng monoton steigend

oder

I1[-∞|-2,12]: monoton steigend

I2[-2,12|0,79]: monoton fallend

I3[0,79|∞]: monoton steigend

Dies können wir so aufschreiben, da runde Klammern in der Mathematik bei der Definition von Zahlenbereichen bedeuten, dass der letzte bzw. der erste Wert nicht beinhaltet ist. Die eckigen Klammern beinhalten die Endwerte.

 

 

 

 

 

Geschrieben am 14. März 2015 für die Autor: Vakya

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