Rotationskörper

Formel

Die Fläche eines Kreises lässt sich ja mit berechnen.

Der Radius einer rotierten Funktion entspricht dem Funktionswert, sodass man die Fläche einer rotierten Funktion an einer Stelle mit  bestimmen kann.

Da aber das Volumen gesucht ist, kann man mit dem Integral die Flächen an allen Stellen in einem Bereich integrieren, sodass man ein Volumen erhält. So ähnlich, wie die Seitenfläche eines Quaders multipliziert mit der Länge dem Volumen entspricht.

Wenn man noch das  ausklammert erhält man diese Formel:

Das Praktische an dieser Formel ist, dass man nicht die Nullstellen bestimmen muss, da  immer positiv ist und somit die Bilanz dem Gesamtvolumen entspricht.

Beispiel

Es soll das Volumen der um die X-Achse rotierten Funktion  im Intervall berechnet werden.

Volumen zwischen zwei rotierten Funktionen

Wenn man das Volumen zwischen zwei rotierten Funktionen berechnen soll, darf man nicht die Differenzfunktion quadrieren, da .

Stattdessen müssen die Volumen getrennt berechnet werden oder man rechnet mit der folgenden Formel: